自测练习

理论、数据、方法；模型设定、参数估计、模型检验、模型应用；经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、预测检验。

解释变量指方程右侧的角色；外生性涉及模型外部决定机制或与扰动的关系。右侧变量也可能与误差相关，滞后项也不必然外生。

$\sum e_i=0$、$\sum X_ie_i=0$。由第一式 $\sum Y_i=n\hat\beta_1+\hat\beta_2\sum X_i$，得 $\hat\beta_1=\bar Y-\hat\beta_2\bar X$。

斜率 1.5，截距 4.5；ESS=90，RSS=40，R²=90/130≈0.6923；s²=40/8=5。完整检验与预测计算见第二章第 8 节。

对给定 X 取条件期望，$E(u\mid X)=0$ 使误差项期望消失。取条件方差并代入 $\operatorname{Var}(u\mid X)=\sigma^2I$，得 $\sigma^2(X'X)^{-1}$。

$P=X(X'X)^{-1}X'$，$M=I-P$。二者对称幂等，秩分别为 k、n−k；$e=MY=Mu$。正态下 $u'Mu/\sigma^2\sim\chi^2_{n-k}$。

k=4；R²=0.75；修正 R²=$1-(100/26)/(400/29)=0.72115$；整体 F=$(300/3)/(100/26)=26$，自由度为 (3,26)。

$F=((150-100)/2)/(100/26)=6.5$，自由度为 (2,26)。给定显著性水平后与相应 F 右尾临界值比较。不能拿 n−k−q 当分母自由度。

不矛盾，联合原假设与单个原假设不同，强共线性可能使单个效应难分。F=t² 要求检验的是同一个单一线性约束；一元回归整体零斜率是特例。

h=0.1+4/40=0.2。均值区间 $15\pm2.306\sqrt{5\times0.2}=(12.694,17.306)$；个别值区间 $15\pm2.306\sqrt{5\times1.2}=(9.351,20.649)$。

VIF=25；在误差方差、该变量离差平方和不变的正交基准比较下，标准误差放大 5 倍，而不是 25 倍。

完全共线性使单个参数不能唯一识别；近似共线性使估计不精确但在其他经典条件成立时仍 BLUE；岭回归通过惩罚和引入偏差来降低方差，合适惩罚可能改善 MSE。

增加 $866.41\times0.01=8.6641$ 个 Y 的单位；课件 Y 单位是亿元。这里是增加 1 个百分点，不是比例增加 1。

$t=(\hat\beta_2+\hat\beta_3-1)/[s\sqrt{c_{22}+c_{33}+2c_{23}}]$，自由度 n−k。对应 q=1 的一般 F=t²，不能忽略协方差项。

依据消费理论设定收入与消费的函数关系并加入误差项；收集同口径收入消费数据并估计参数；检验经济意义、统计显著性、基本假设和样本外表现；通过检验后用于结构分析或条件预测。

不对。数据无法单独决定变量选择、函数形式与因果方向；理论、数据和方法缺一不可。

不对。前者按单个方程中的角色分类，后者按模型决定机制或外生性条件分类。联立方程中内生变量可在右侧；右侧变量也可能与误差相关。

前者系统部分约增加 0.8%；后者系统部分约增加 0.008 单位。百分比与单位不能混用。

残差和为零来自含截距 OLS 的一阶条件，任何样本都成立；无偏是反复抽样下估计量的期望等于真参数，需要 $E(u\mid X)=0$ 等统计条件。

算 $(2-1)/0.5=2$。只有检验原假设为 0 时才直接用系数除标准误差。

均不说明。R² 没有符号；因果解释依赖额外假设。

新个体 $Y_f$ 自带独立扰动 $u_f$，其方差 $\sigma^2$ 加到参数估计产生的方差 $\sigma^2h_f$ 上。

满列秩使 $X'X$ 可逆，参数唯一。允许相关，禁止的是完全线性依赖；高度但不完全的相关使方差增大，却不直接使估计不存在。

k=5，分子 k−1=4，分母 n−k=45。单个系数 t 的自由度也是 45。

无约束最小化空间扩大，RSS 不增加；修正 R² 还会扣除新增参数的自由度。只提高一点拟合可能不足以补偿该惩罚。

$se(\hat\beta_2+\hat\beta_3)=s\sqrt{c_{22}+c_{33}+2c_{23}}$，不能只把两个标准误差相加。该单约束的 F 等于相应 t 的平方。

$VIF=25$；$\operatorname{Var}(\hat\beta_j)=4/[100(1-0.96)]=1$，标准误差为 1。正交基准下方差 0.04、标准误差 0.2，因此方差放大 25 倍、标准误差放大 5 倍。

均不对。近似共线性本身不破坏零条件均值，OLS 可仍无偏；新样本须提供独立变化才能缓解，结构性完全共线不能靠同结构样本消除。

不对。一个变量可能被其他多个变量的线性组合精确或近似解释，应看辅助回归 R²／VIF 或特征值。

不矛盾。F 检验联合限制，t 检验控制其他变量后的单个系数，原假设不同。整体解释力强而单个效应难分离可以并存。

经济理论是否要求保留、删除是否引入遗漏变量偏误、研究目标是单个效应还是预测、剩余系数的含义是否改变。不能只因 t 小或 VIF 高就机械删除。