公式速查 · 计量复习室

3. 一条知识链与统一记号

经济问题与理论 → 变量与数据 → 设定 $Y=X\beta+u$ → 用 OLS 得到 $\hat\beta$ → 在假设下讨论无偏、方差和 BLUE → 用 t／F 推断 → 作条件预测 → 检查共线性等假设与数据问题。

符号	本资料约定
n	样本量
k	包括截距在内的参数总数；一元回归 k=2
q	独立线性约束个数
$x_i,y_i$	一元手算中表示减去样本均值后的离差
$x_f$	多元预测中表示含首项 1 的行向量，另有明确说明
$u_i,e_i$	真实总体扰动／估计后的样本残差
TSS、ESS、RSS	总平方和／解释平方和／残差平方和
$s^2$	误差方差的无偏估计 $RSS/(n-k)$
$t_{1-\alpha/2,\nu}$	t 分布下尾概率为 $1-\alpha/2$ 的正分位数；等于课件右尾记号 $t_{\alpha/2}(\nu)$

\hat\beta_2=\frac{\sum(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sum(X_i-\bar X)^2} =\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat\beta_1=\bar Y-\hat\beta_2\bar X.

\operatorname{Var}(\hat\beta_2\mid X)=\frac{\sigma^2}{S_{xx}},\qquad \operatorname{Var}(\hat\beta_1\mid X)=\sigma^2\left(\frac1n+\frac{\bar X^2}{S_{xx}}\right),\quad s^2=\frac{RSS}{n-2}.

\hat\beta=(X'X)^{-1}X'Y,\quad \hat\beta-\beta=(X'X)^{-1}X'u,\quad \operatorname{Var}(\hat\beta\mid X)=\sigma^2(X'X)^{-1}.

C=(X'X)^{-1},\quad s^2=\frac{RSS}{n-k},\quad se(\hat\beta_j)=s\sqrt{c_{jj}}.

适用条件要一起记：参数线性、X 满列秩、零条件均值；经典方差和 BLUE 还需同方差无自相关。精确的小样本 t、F 再需正态假设。

TSS=ESS+RSS,\quad R^2=1-\frac{RSS}{TSS},\quad \bar R^2=1-\frac{RSS/(n-k)}{TSS/(n-1)}.

自由度对应为 n−1、k−1、n−k。这里的分解和中心化 R² 性质针对含截距 OLS，且要求 TSS>0。

t=\frac{\hat\beta_j-b_0}{s\sqrt{c_{jj}}}\sim t_{n-k},\qquad CI:\ \hat\beta_j\pm t_{1-\alpha/2,n-k}s\sqrt{c_{jj}}.

整体零斜率：

F=\frac{ESS/(k-1)}{RSS/(n-k)} =\frac{R^2/(k-1)}{(1-R^2)/(n-k)}\sim F_{k-1,n-k}.

q 个线性约束：

F=\frac{(RSS_R-RSS_U)/q}{RSS_U/(n-k)}\sim F_{q,n-k}.

分母使用无约束模型。同一个单约束有 F=t²；多个约束不能逐个 t 替代联合 F。双侧 t 看绝对值，F 只看右尾，p<α 时拒绝原假设。

\hat Y_f=x_f\hat\beta,\quad h_f=x_f(X'X)^{-1}x_f'.

\text{均值：}\ \hat Y_f\pm t_{1-\alpha/2,n-k}s\sqrt{h_f};\qquad \text{新个体：}\ \hat Y_f\pm t_{1-\alpha/2,n-k}s\sqrt{1+h_f}.

一元时 $h_f=1/n+(X_f-\bar X)^2/S_{xx}$ 。新个体多一个扰动方差，区间更宽。两者都把预测用的解释变量值当作给定，另需模型稳定、新扰动满足相应条件。

VIF_j=\frac1{1-R_j^2},\qquad \operatorname{Var}(\hat\beta_j\mid X) =\frac{\sigma^2VIF_j}{\sum_i(X_{ij}-\bar X_j)^2}.

$R_j^2$ 来自 $X_j$ 对其余解释变量及截距的辅助回归。VIF≥10 是课件经验提示；标准误差放大倍数为 $\sqrt{VIF_j}$ 。